Immagina di disegnare un quadrato perfetto. Lati uguali, angoli retti. Poi tracciane la diagonale. Quanto vale?

Cos’è la radice di due e come si calcola

La risposta sembra semplice: basta applicare il teorema di Pitagora. Per un quadrato di lato 1, la diagonale viene d = √(1² + 1²) = √2.

La radice di due (√2) rappresenta la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1.

Un numero innocuo, che non fa rumore. Lo abbiamo incontrato tante volte a scuola e probabilmente sappiamo quanto valga entro una certa precisione. Eppure, anche se oggi lo diamo per scontato, in passato non lo era affatto. Dietro quel simbolo così semplice — √2 — si nasconde una frattura profonda. Una crepa che ha attraversato la matematica, mettendo in discussione l’idea stessa di numero.

La scoperta dei numeri irrazionali nell’antica Grecia

Innanzitutto, è il primo dei numeri irrazionali mai scoperti e, in quanto tale, non può essere rappresentato come rapporto di numeri interi.

Oggi può sembrare una banalità. Ma per i Greci non lo era affatto. Per loro, il mondo era armonia.
Tutto era numero, e ogni numero era rapporto. Capire significava esprimere come frazione.
Misurare significava confrontare grandezze tramite proporzioni. In altre parole, il reale era — per definizione — razionale.

Poi qualcuno tracciò una diagonale.

E quella linea — così semplice, così innocente — mostrò che esistevano grandezze che sfuggivano a ogni proporzione. Fu uno shock. Non solo matematico. Filosofico. Se non tutto è esprimibile come rapporto…
quanto è fragile l’idea di ordine?

La radice di due è il primo esempio storico di numero irrazionale, cioè un numero che non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.

Perché √2 non può essere una frazione

A questo punto potremmo accettarlo e basta: √2 è un numero irrazionale. Ma possiamo anche fare un passo in più e chiederci: perché? Immaginiamo che √2 sia una frazione. Qualcosa del tipo:

√2 = a / b

dove a e b sono numeri interi e la frazione è ridotta ai minimi termini (cioè non hanno fattori in comune). Ora eleviamo al quadrato entrambi i lati:

2 = a² / b²

cioè

a² = 2b²

Questo significa che a² è pari. E se a² è pari, allora anche a deve essere pari. Possiamo quindi scrivere:

a = 2k

Sostituendo:

(2k)² = 2b²
4k² = 2b²

e, dividendo per 2:

2k² = b²

Ma allora anche b² è pari, e quindi anche b è pari. Ma qui emerge la contraddizione. Abbiamo scoperto che sia a che b sono divisibili per 2. Ma questo è impossibile, perché avevamo supposto che la frazione fosse già ridotta ai minimi termini. L’unica conclusione possibile è che la nostra ipotesi iniziale era sbagliata. √2 non può essere una frazione.

La tavoletta YBC 7289 e la radice di due in Babilonia

Già molto prima dei greci, circa 1800 anni prima di Cristo, in Mesopotamia, uno scriba incise su una tavoletta di argilla un quadrato e la sua diagonale. Accanto, un numero scritto in base 60. Non era un simbolo misterioso, non era filosofia. Era una misura.

La tavoletta YBC 7289 è una delle più antiche testimonianze matematiche della radice di due.

Quella tavoletta — oggi conosciuta come YBC 7289 e conservata alla Yale Babylonian Collection — riporta una stima di √2 incredibilmente precisa. Se traduciamo quel numero nel nostro sistema, otteniamo: 1.41421296. Il valore reale è: 1.41421356… L’errore? Meno di una parte su un milione. Per un popolo di quasi 4000 anni fa… è incredibile.

Perché la radice di due ha cambiato la matematica

Ma c’è qualcosa di ancora più sorprendente. Per i Babilonesi, quel numero era solo questo: una misura estremamente precisa. Uno strumento. Ma secoli dopo, quando i Greci si trovarono davanti alla stessa quantità, non riuscirono più a considerarla così innocua.

Capirono che √2 non è solo un numero difficile. È un numero che rompe le regole. Non finisce. Non si ripete. Non si lascia esprimere. È come una crepa dentro il linguaggio dei numeri. E allora la diagonale del quadrato smette di essere solo una linea. Diventa una domanda. Non più: quanto misura? Ma: è possibile misurare tutto?

Forse è per questo che la radice di due non è solo un risultato di un calcolo. È una scoperta. Il momento in cui abbiamo capito che l’infinito non è solo nelle stelle… ma anche dentro un quadrato.

Per approfondire

Se questa storia ti ha incuriosito, esiste un libro che esplora proprio il lato più affascinante della radice di due. Si tratta di The Square Root of 2 di David Flannery.

Non è un semplice libro di matematica. È un viaggio tra numeri, filosofia e storia, che racconta come una semplice diagonale abbia messo in crisi l’idea stessa di ordine del mondo.